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第404章 最贪的选择（第1页）

陈舟明显愣了一下。

这是一上来，就考自己吗？

从几何角度研究非交换环？

真要说起来，对于非交换环，陈舟还是有些看法的。

非交换环的一个最常见的例子，或许就是矩阵了。

利用矩阵可以得到一批非交换环的反例。

就好像，若S是包含在环R内的相应维数为无穷的域。

那么A=Re_11+Re_12+Se_22，是左Noether与左Artin的。

但不是右Noerther与右Artin，这说明了链条件在非交换环中有左与右的差别。

在除环上的所有矩阵的有限直积，构成了所谓的半单环类。

这就是通常所说的Wedderburn-Artin定理。

这也是非交换环中第一个精彩的结构定理。

更加有趣的是，它通过矩阵的对称结构，自然说明了左半单环等价于右半单环。

在交换环中，最常见的两个根分别是Jacobson根与幂零根。

前者简称为大根，它是所有极大理想的交。

后者简称为素根或小根，它是所有素理想的交。

而在非交换的情形中，一个根就可能分化为三个根，满足某类条件左、右理想以及理想的交。

事实上，非交换环R，所有极大左理想的交，恰恰就是所有极大右理想的交。

并且它们良好的继承了相应的可逆性质。

因此就称其为非交换环的Jacobson根，也记作rad（R）。

尽管非交换环中有左与右的区别，但也不乏此类殊途同归的有趣现象。

而在交换代数中，由于局部化技术的广泛使用，局部环成为了一个研究的焦点。

但非交换环的局部环技术，似乎受到了限制。

反倒是特别在乎半局部环。

值得注意的是，非交换环中对半局部环的定义，并非是指它只有有限个极大左理想。

而是定义为Rrad（R）是半单环或者是Artin环。

事实上，半局部环R的各（双边）理想均包含rad（R），可以化归为Artin环Rrad（R）中的极大理想，因此至多只有有限多个。

但对于左理想的情形，就必须补充条件“Rrad（R）可交换”

。

否则可以考虑域上的矩阵代数，它是半局部的，却可能有无穷多个极大左理想。